Todos estamos acostumbrados a la tradicional definicion de continuidad
En este caso, medimos la distancia entre dos puntos, eso significa
|x-x0|< δ
La distancia es un tipo de métrica, esto es podemos decir, la distancia entre mi casa y el mercado es de 150 metros, o la distancia entre la Ciudad de México y la de Puebla es de 180 km, al igual lo hacemos en geometria, la distancia entre dos puntos esta bien definida, como la norma entre ellos.
Pero no son las unicas metricas que existen, tomemos un ejemplo de la serie la Tercera Roca:
¿Cual es la distancia entre México y Veracruz?
397 Kilometros
Pero otra metrica, seria tomar el tiempo
6 horas de distancia
O una diferente, el dinero
1100 pesos por ADO
Y si tomamos una emocional
Veracruz siempre esta en mi corazon
Como es evidente, tanto los kilometros como el tiempo son continuos, pero el dinero, no, porque no hay continuidad la tarifa viajando en un autobus de segunda, de primera o de lujo son diferentes, y hay grandes huecos enmedio, en cambio la ultima, es un ejemplo claro de que la topologia puede reducir distancias enormes a nada, (doblar el espacio topologico) solo dependiendo de que metrica usemos.
Entonces podemos decir que la métrica es la forma en que medimos una distancia, por longitud (kilometros), por tiempo, o por cualquier forma que no sconvenga medir
Asi que dependiendo de que metrica tomemos, sera la topologia a usar, las que mejor funcionan son las continuas, pero el mismo concepto de continuidad puede cambiar, por ejemplo, si la defino como todos los planetas de clase M (Star Trek, que son habitables por el ser humano), entonces, la definicion de continuidad tambien cambiaria, porque todo el espacio vacio entre ellos o los planetas que no son M, no estan dentro de nuestro espacio topologico X, ergo, el conjunto los planetas tipo M es continuo.
