Pausa Luctuosa

Transformación Lineal

Transformación lineal, según Hollywood:

De acuerdo a esto, el Virus T de Umbrella corp. se llama así, porque es una Transformación lineal, del conjunto Humanos al Zombie:

T: H → Z

Integral Doble

Definición, muy informal:

Espacio Vectorial

Un cuadro conceptual de que es un Espacio Vectorial

Transformaciones de variables aleatorias, Suma X+Y

Este es una Deconstrucción (análisis detallado) del ejemplo que propone Rincón en su video:

PASO 1

Primero tengo que definir dos vectores que cumplan con:
    a) Ser continuos
    b) Exista su inversa f⁻¹  y es diferenciable
    c) Es estrictamente creciente o decreciente
    d) Existan y su Dominio este en el intervalo (0,1) y si es una función compuesta debe de cumplir también esto
    e) Sean independientes

Así que Rincón propone los siguientes vectores:

 (X,Y) ~ unif (0,1)x(0,1)

Esto es, la función uniforme en el cuadrado (0,1)

Que cumple las tres condiciones a,b y c; y la d si los restringimos a ese intervalo.

ENCONTRAR X+Y

Sea 𝝓 = (x,y) = (u,v)

Tengo que 𝝓⁻¹ es continua y tiene inversa
𝝓⁻¹ (u,v) = (u,v)   por la función seleccionada, la identidad
𝝓⁻¹ (u,v) = (𝝓₁⁻¹ (u,v) ,  𝝓₂⁻¹ (u,v) )

Su función de Densidad es:

Lo que busco es:

¿Cuál es la función de densidad de X+Y?

PASO 2

Determino su intervalo de validez:

Sea X+Y

X	Y	X+Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	2

Entonces X+Y ∈ (0,2)

PASO 3 
Aplico la formula, para 0<u<2

Como se que X, Y son independientes (así las construí)

Entonces la formula es:

Esto es el producto de las marginales, que son uniformes en (0,1) NO tienen necesariamente que serlo en en (0,2), aunque estas si lo cumplen

Así que tengo que el conjunto de valores de v en donde se cumple:

f_X(u,v)f_Y(v) ≠ 0

Esto sucede si cualquiera de las dos marginales es idéntica a la función de densidad:

f ₓ(u-v) = 1   si 0 < u-v < 1

f_Y(v) = 1       si 0 < v < 1

Paso 4 

Condiciones para v

a) 0 < u-v < 1

    -u < v < 1 – u

    u > v > u – 1

b) 0 < v < 1

Para que a y b se cumplan al mismo tiempo, tiene que suceder que:

max {0, u-1} < v < min {1,u}

Paso 5 

Cálculo la integral:

Para 0 < u < 2

La divido en partes:

Para 0 < u < 1   (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (u-0) = u

Para 1 < u < 2    (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (1-(u-1))=(2-u)

Por lo que la función de densidad de la suma es:

Paso 6

Gráfica

La gráfica para cuando: u  > 1 y u < 1 es:

Usando propiedades geométricas, tengo que el área del triángulo se reduce a:

área = 1

Justo lo que necesitaba.

Prácticamente los mismos pasos se usan para la Diferencia y el Producto, el Cociente, en general no existe, por las condiciones del Jacobiano, (son muy pocas las funciones inversas que puedan calcularse sin incumplir las condiciones de el)

Bernoulli

Por si las dudas, también las hice por Distribución de Bernoulli:

Lo hice definiendo las funciones más simples que se me ocurrierón, lo que cuenta es como se hace, no solo sobre que se hace.

Matemáticas del Coronavirus: Modelo Epidémico SIR

El modelo más popular para comprender una Epidemia se llama SIR, que establece una relación entre los tres factores: Susceptibles, Infectados y Recuperados, y que nos permite entender conceptos como el aplanamiento de la curva de contagios.

El modelo esta dado por las Ecuaciones siguientes:

Hay dos condiciones en este modelo:

• No se toma en consideración el numero de muertos
• Existe un periodo de adaptación al virus, esto es, los Recuperados desarrollan inmunidad y la transmiten a otras personas, con lo cual el virus deja de ser mortal.

Este es un modelo de que tan rápido se expande una enfermedad, de cuantas personas infecta y de cuanto tiempo durara una emergencia.

Digamos que empezamos con un 1% de la población infectada, con un 90% de ser contagiado, entonces observemos la curva azul, es el numero de casos de Infectados, como se ve, para un parámetro 𝛽 del 0.9, que significa un día normal, con montones de personas en la calle, tendremos que el 70% de la población se contagiara, y con un promedio de muertes del 4% del Coronavirua, entonces el 2.8% de la población morirá, esto es 3,617,600 mexicanos.

Con 𝛽 = 0.9 Un alto nivel de personas susceptibles

Ahora bien, si se aplica una distancia adecuada y las personas se mantienen en casa, el factor 𝛽 disminuye:

Con 𝛽 = 0.4

Solo tendríamos el 45% infectados, 2,325,600 muertos,

Con 𝛽 = 0.2

Solo tendríamos el 20% infectados, 1,033,600 muertos, 

Como se ve, entre menor sea 𝛽, menos altura tiene la curva, menos muertes.

A eso se le llama aplanar la curva, y como se ve, 𝛽 depende de la distancia social, entre menos contagios, menos muertos, y si aceptamos que el virus se vuelve no mortal en un mes, entonces, por eso es importante mantener las medidas de estar en casa.

Entre menor sea la curva, menos pacientes necesitan ser hospitalizados, lo que implica menos carga de trabajo al personal médico y menos gasto social, es muy importante mantenerse en casa, por tí, por tú familia y por tú sociedad.

Los cálculos los hice calculando una mortalidad del 4%, que es la reportada hasta el momento, esperemos que en México no sea tan alta.

Existen otros Modelos, pero son más complejos y no son tan populares.

Si deseas revisar los números y hacer tú propio modelo, te dejo el enlace del simulador de la Universidad de Arizona:

http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/sir.html?Alpha=0.4&Beta=0.1&initialS=99&initialI=10&initialR=1&iters=30

Cambio de Plataforma

Este semestre se ha migrado la Carrera de Matemáticas, de la plataforma de Blackboard a la de Moodle, así que de repente ya no sirve el viejo portal, lástima, era buena, pero habrá que acostumbrarse a la nueva.

Blackboard, la vieja plataforma

Hay cambios de visualización, pero básicamente es lo mismo, aunque es necesario picar por todas partes, porque un vicio de Moodle es que sus botones no son evidentes, estan integrados dentro del diseño y parecen no existir, solo es cuestión de acostumbrarse.

Por otro lado, algo que hace falta es WIRIS, el editor de Ecuaciones, que en Matemáticas se usa y mucho, en Moodle esta presente uno más primitivo, que habrá que aprender a manejar, pero que a primera vista se ve muy pobre, aunque puedo equivocarme, sospecho que es programable.

Como leer Matematicas, version Estudiante

Leer un libro de Matemáticas es muy diferente a leer uno de Literatura, requiere de metodos, herramientas y una abstraccion muy diferentes, hasta el tipo de lectura debe de ser realizado de forma muy peculiar.

Lectura

Un estudiante en Humanidades, (literatura, poesia, etc.), suele leer un texto para aprender, leyendo con calma, revisando las ideas centrales y aprendiendolas por medio de conocerlas, basicamente basta con leer para darse cuenta de que esta hablando el autor, y comprender sus ideas.

En Matematicas el proceso no es tan simple, el lenguaje matematico esta Estructurado, asi que lo que se lee no tiene la misma finalidad, ni forma, ni funcionalidad; para un estudiante universitario de Matematicas, la Estructura es:

1. Explicación Teorica: En esta parte se presenta el Concepto Abstracto, la estructura normal es una Introduccion al Concepto, seguida de una Formalización Abstracta, presentada usualmente en la forma: Axiomas → Teoremas (con sus demostraciones) → Corolarios
2. Ejemplos: En esta parte se comprende como Opera el Concepto, es la parte Funcional del aprendizaje, en la que vemos como funciona lo que debemos comprender.
3. Ejercicios: En esta parte Descomponemos cada elemento conceptual y lo usamos, para realizar el aprendizaje practico, (en Neurofisiologia del aprendizaje se diria que es en donde reforzamos la Red neuronal que creamos en los pasos anteriores).

Explicacion

Asi que al leer, debemos de pensar en que fase estamos, la Explicacion Teorica implica muchas cosas, para empezar, esta debe de ser clara y accesible, (esto lo pone el autor), pero tambien debemos de tener conocimientos adecuados para comprender el concepto, (no se pueden comprender las integrales si no sabes funciones), debemos tener en consideracion el nivel del libro y de nosotros mismos, no todos los textos tienen el mismo nivel, lo mejor es revisar varios y ver con cual nos sentimos mas comodos, acomodarlos del mas facil al mas dificil y asi organizar su lectura, finalmente esta nuestra afinidad con el autor, hay algunos que no nos gusta como escriben y otros que si. 

En esta fase, lo que mas importa es que comprendamos el Concepto, (hay varias formas, Heuristica, Abstraccion, Conceptualizacion, ya las tratare en otra entrada).

Asi que al leer debemos concentrarnos en la parte Conceptual.

Ejemplos

Cuando llegamos a la segunda fase: los Ejemplos, debemos de usar una forma de pensar muy diferente, y tener mucho papel a nuestra disposicion, ya que debemos de ver cual es la forma en que el autor soluciona los problemas, y aqui Solucion tiene dos enfoques diferentes, porque hay dos formas de abordar los ejemplos:

1. Demostrativa, muy frecuentemente lo que se hace es hacer demostraciones logicas, del concepto principal, pero se deja a los estudiantes hacer las demas, en tal caso, lo que importa es la estructura logico-demostrativa del ejemplo.
2. Metodos Numericos, en esta lo que importa es encontrar una solucion numerica a un problema, en este caso, lo que debemos de usar es nuestra capacidad calculistica, la metodologia implica un procedimiento normalizado, (como las integrales por sustitucion), que debemos de comprender y aplicar.

Asi que no es raro que tengamos que reescribir los ejemplos del autor, llenando los pasos que se salta y comprendiendo su procedimiento.

En esta parte debemos leer concentrandonos en la parte Funcional.

Ejercicios

Ya una vez comprendido el Concepto, es necesitario Ejercitarlo, porque esa es la forma en que aprendemos, en que nuestro cerebro se da cuenta y almacena una informacion que nos sera util de por vida, esto lo hace por medio de la Deconstruccion del concepto, esto es, ya que tenemos el Concepto y el Procedimiento (Numerico o Demostrativo), podemos ver que partes de el existen, como se relacionan, y como podemos reconstruir un Procedimiento para encontrar una Solucion, como en el caso anterior esto se divide en dos casos:

1. Demostrativo, esto es puramente abstracto y usualmente significa ver como podemos unir las piezas conceptuales de forma logica, de tal forma que se construya una demostracion convincente.
2. Metodos Numericos, ver las diferentes formas en que se pueden realizar calculos apra resolver un problema determinado, por ejemplo, encontrar los limites de integracion adecuados para que una integral definida tenga sentido o bien ver que tipo de metodologia de integracion se debe de usar para una integral dada (por partes, por sustitucion, por aproximacion, Riemann).

En esta parte, no debemos concentrarnos en la lectura, sino en la escritura, un buen lapiz y mucho papel son fundamentales.