Kantinfleando, el Infinito

 El Infinito, ese concepto matematico tan increible, mi definicion favorita de el, es: imagina el numero mas grande que puedas, y piensa un numero mas grande, ese es el infinito, un proceso, algo que nunca acaba.

Y tiene reglas aritmeticas muy peculiares:

∞+1 = ∞

∞+2 = ∞

...

 ∞+∞ = ∞

Estas son bastante claras, algo locas, pero comprensibles, pero en cambio la resta:

 ¿∞-1 = ∞?

Esto ya no cumple la definicion, pero por otro lado, si a algo infinito le quitamos un elemento, como que suena a que deberia de ser todavia infinito, de lo cual viene la pregunta, ¿cuantos elementos hay que quitarle a infinito, para que ya no sea infinito?, o en escritura mas formal:

 ∞-∞ = ∞

o

 ∞-∞ = 0

Eso dependera del tipo de infinito que sea el que esta restando, y es que hay varios tipos de infinitos, los numerables y los no numerables, pongamos un ejemplo:

Si a los Enteros Z, los operamos con los Naturales N

 Z-N es un conjunto infinito, pero si

Z-Z = 0

Entonces tenemos que la cardinalidad del conjunto es lo que cuenta, esto es, ¿hay infinitos mas grandes que otros infinitos?

 Mientras me rasco la cabeza, los dejo pensando en este interesante concepto Matemático.

Próximanente en Kantinfleando:

Transformaciones de variables aleatorias, Suma X+Y

Este es una Deconstrucción (análisis detallado) del ejemplo que propone Rincón en su video:

PASO 1

Primero tengo que definir dos vectores que cumplan con:
    a) Ser continuos
    b) Exista su inversa f⁻¹  y es diferenciable
    c) Es estrictamente creciente o decreciente
    d) Existan y su Dominio este en el intervalo (0,1) y si es una función compuesta debe de cumplir también esto
    e) Sean independientes

Así que Rincón propone los siguientes vectores:

 (X,Y) ~ unif (0,1)x(0,1)

Esto es, la función uniforme en el cuadrado (0,1)

Que cumple las tres condiciones a,b y c; y la d si los restringimos a ese intervalo.

ENCONTRAR X+Y

Sea 𝝓 = (x,y) = (u,v)

Tengo que 𝝓⁻¹ es continua y tiene inversa
𝝓⁻¹ (u,v) = (u,v)   por la función seleccionada, la identidad
𝝓⁻¹ (u,v) = (𝝓₁⁻¹ (u,v) ,  𝝓₂⁻¹ (u,v) )

Su función de Densidad es:

Lo que busco es:

¿Cuál es la función de densidad de X+Y?

PASO 2

Determino su intervalo de validez:

Sea X+Y

X	Y	X+Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	2

Entonces X+Y ∈ (0,2)

PASO 3 
Aplico la formula, para 0<u<2

Como se que X, Y son independientes (así las construí)

Entonces la formula es:

Esto es el producto de las marginales, que son uniformes en (0,1) NO tienen necesariamente que serlo en en (0,2), aunque estas si lo cumplen

Así que tengo que el conjunto de valores de v en donde se cumple:

f_X(u,v)f_Y(v) ≠ 0

Esto sucede si cualquiera de las dos marginales es idéntica a la función de densidad:

f ₓ(u-v) = 1   si 0 < u-v < 1

f_Y(v) = 1       si 0 < v < 1

Paso 4 

Condiciones para v

a) 0 < u-v < 1

    -u < v < 1 – u

    u > v > u – 1

b) 0 < v < 1

Para que a y b se cumplan al mismo tiempo, tiene que suceder que:

max {0, u-1} < v < min {1,u}

Paso 5 

Cálculo la integral:

Para 0 < u < 2

La divido en partes:

Para 0 < u < 1   (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (u-0) = u

Para 1 < u < 2    (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (1-(u-1))=(2-u)

Por lo que la función de densidad de la suma es:

Paso 6

Gráfica

La gráfica para cuando: u  > 1 y u < 1 es:

Usando propiedades geométricas, tengo que el área del triángulo se reduce a:

área = 1

Justo lo que necesitaba.

Prácticamente los mismos pasos se usan para la Diferencia y el Producto, el Cociente, en general no existe, por las condiciones del Jacobiano, (son muy pocas las funciones inversas que puedan calcularse sin incumplir las condiciones de el)