Para la solucion de una integral doble, se deben de seguir una serie de pasos, si se siguen correctamente, la solucion sera mas sencilla de resolver y su solucion correcta. El como se construye la Integral doble es fundamental, para ello hay que ver que nos dice la Gometria, la cual establece los limites para integrar, el tipo de sistema de coordenadas a usar y fundamentalmente, el orden de iteracion.
EJEMPLO 1
RECTANGULOS
Una integral doble se construye de tal forma que los limites que dependen de funciones se resuelvan en la primera integral (interna), mientras que los numericos se resuelvan en la segunda (externa), siempre debemos tener como resultado un numero.
Notese que uso dA en la integral, porque dependiendo de la geometria, decidire si se usa dydx o dxdy (en el caso de polares, casi siempre se usa rdrdΘ porque tenemos funciones que dependen del angulo).
Supongamos que integraremos una funcion f(x,y), cuya proyeccion sobre el plano xy es un cuadrado, con:
x∈[0,1]
y∈[1,2]
El primer paso, siempre sera dibujar esta proyeccion, porque en base a ella definiremos los limites de integracion y en base a ellos, el orden de integracion.
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| La region esta marcada con naranja |
En este caso, como ambos son numericos, no importa el orden y podemos integrar de cualquiera de estas formas:
EJEMPLO 2
REGION 1
Ahora veamos otro ejemplo, pero hagamoslo mas interesante, con:
x∈[0,1]
y∈[0,1-y]
Primero hagamos la grafica, que esta contenida entre y=0, y=1-x, x=1 y x=2 (notese que deben de ser dados los limites en el problema)
A este tipo de grafica, la llamamos Region 1 e implica que el orden de iteracion sera dydx, vemos que la grafica esta contenida entre las paralelas x=0 y x=1, pero lo interesante es que para toda x fija, los valores de y van desde 0 a la grafica y=1-x,
Esto se debe a que los limites de integracion de la integral interior, deben de ser funciones de la exterior, en este caso, como la interior es dy, sus limites deben de estar en funcion de x.
En este caso, ya no es indistinto el orden, tenemos ahora una funcion, en y, esto implica que nuestras integrales van a tener que ser:
EJEMPLO 3
REGION 2
Veamos ahora otro tipo de Region, la 2, que implica una integracion en el orden dydx, ahora tenemos que:
x∈[f(y0),f(y1)]
y∈[1,2]
En este caso, la funcion depende de y, algo que no solemos hacer en dimensiones inferiores, pero que se vuelve algo normal en dimensiones superiores supongamos que:
f(y0)=0 y f(y1)=x+1
Como siempre, empezamos con la grafica:
Despejemos y=x+1 x=y-1
Esto es para cualquier y en el intervalo, x va de 0 a la recta y=x+1
Asi que nuestros limites de integracion serian:
x∈[0,y-1]
y∈[1,2]
Y nuestra integral quedaria:
EJEMPLO 4
ACOTADA POR FUNCIONES
Y finalicemos con un ultimo ejemplo, mas complicado:
x∈[f(y0),f(y1)]
y∈[f(x0),f(x1)]
Como siempre, comenzamos con la grafica:
Como se ve, la figura necesariamente comienza en un valor dado de x o y y termina en otro valor de x o y, lo que nos conviene, es ver donde intersectan ambas graficas y tomar esos valores para los limites de la integral externa, mientras que para la interna, tomar la funcion que sea mas facil de integrar, esto es:
Los puntos de interseccion son:
P1=(-2.79,3.79)
P2=(1.79,-0.79)
Para la exterior podemos tomar:
x∈[a,b] = [-2.79,1.79]
o
y∈[c,d] = [3.79,-0.79]
Y para la interior
Tomemos dx para la exterior, nuestra integral quedaria:
Tomemos dy para la exterior, nuestra integral seria:
Ya es cuestion de practica cual escoger, la que veamos mas facil de solucionar, o la que tenga limites mas simples.
No incluyo ejemplos numericos, ya que esos abundan, lo malo es que la mayoria estan mal explicados, pero con lo visto aqui, resultaran obvios.
Nota importante:
Para la Integracion Numerica, hay que tomar varias consideraciones:
- Limites con raices cuadradas o binomios al cuadrado usar Coordenadas polares
- Si f(x,y) es un cilindro, usar cilindricas
- Si f(x,y) es una esfera, usar polares
- Si las proyecciones sobre el eje xy son circunferencias o pedazos de ellas, usar polares.
