Pausa Luctuosa

Transformación Lineal

Transformación lineal, según Hollywood:

De acuerdo a esto, el Virus T de Umbrella corp. se llama así, porque es una Transformación lineal, del conjunto Humanos al Zombie:

T: H → Z

Integral Doble

Definición, muy informal:

Espacio Vectorial

Un cuadro conceptual de que es un Espacio Vectorial

Transformaciones de variables aleatorias, Suma X+Y

Este es una Deconstrucción (análisis detallado) del ejemplo que propone Rincón en su video:

PASO 1

Primero tengo que definir dos vectores que cumplan con:
    a) Ser continuos
    b) Exista su inversa f⁻¹  y es diferenciable
    c) Es estrictamente creciente o decreciente
    d) Existan y su Dominio este en el intervalo (0,1) y si es una función compuesta debe de cumplir también esto
    e) Sean independientes

Así que Rincón propone los siguientes vectores:

 (X,Y) ~ unif (0,1)x(0,1)

Esto es, la función uniforme en el cuadrado (0,1)

Que cumple las tres condiciones a,b y c; y la d si los restringimos a ese intervalo.

ENCONTRAR X+Y

Sea 𝝓 = (x,y) = (u,v)

Tengo que 𝝓⁻¹ es continua y tiene inversa
𝝓⁻¹ (u,v) = (u,v)   por la función seleccionada, la identidad
𝝓⁻¹ (u,v) = (𝝓₁⁻¹ (u,v) ,  𝝓₂⁻¹ (u,v) )

Su función de Densidad es:

Lo que busco es:

¿Cuál es la función de densidad de X+Y?

PASO 2

Determino su intervalo de validez:

Sea X+Y

X	Y	X+Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	2

Entonces X+Y ∈ (0,2)

PASO 3 
Aplico la formula, para 0<u<2

Como se que X, Y son independientes (así las construí)

Entonces la formula es:

Esto es el producto de las marginales, que son uniformes en (0,1) NO tienen necesariamente que serlo en en (0,2), aunque estas si lo cumplen

Así que tengo que el conjunto de valores de v en donde se cumple:

f_X(u,v)f_Y(v) ≠ 0

Esto sucede si cualquiera de las dos marginales es idéntica a la función de densidad:

f ₓ(u-v) = 1   si 0 < u-v < 1

f_Y(v) = 1       si 0 < v < 1

Paso 4 

Condiciones para v

a) 0 < u-v < 1

    -u < v < 1 – u

    u > v > u – 1

b) 0 < v < 1

Para que a y b se cumplan al mismo tiempo, tiene que suceder que:

max {0, u-1} < v < min {1,u}

Paso 5 

Cálculo la integral:

Para 0 < u < 2

La divido en partes:

Para 0 < u < 1   (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (u-0) = u

Para 1 < u < 2    (min {1,u}-max {0, u-1}) =  (1-(u-1))=(2-u)

Por lo que la función de densidad de la suma es:

Paso 6

Gráfica

La gráfica para cuando: u  > 1 y u < 1 es:

Usando propiedades geométricas, tengo que el área del triángulo se reduce a:

área = 1

Justo lo que necesitaba.

Prácticamente los mismos pasos se usan para la Diferencia y el Producto, el Cociente, en general no existe, por las condiciones del Jacobiano, (son muy pocas las funciones inversas que puedan calcularse sin incumplir las condiciones de el)

Bernoulli

Por si las dudas, también las hice por Distribución de Bernoulli:

Lo hice definiendo las funciones más simples que se me ocurrierón, lo que cuenta es como se hace, no solo sobre que se hace.

Matemáticas del Coronavirus: Modelo Epidémico SIR

El modelo más popular para comprender una Epidemia se llama SIR, que establece una relación entre los tres factores: Susceptibles, Infectados y Recuperados, y que nos permite entender conceptos como el aplanamiento de la curva de contagios.

El modelo esta dado por las Ecuaciones siguientes:

Hay dos condiciones en este modelo:

• No se toma en consideración el numero de muertos
• Existe un periodo de adaptación al virus, esto es, los Recuperados desarrollan inmunidad y la transmiten a otras personas, con lo cual el virus deja de ser mortal.

Este es un modelo de que tan rápido se expande una enfermedad, de cuantas personas infecta y de cuanto tiempo durara una emergencia.

Digamos que empezamos con un 1% de la población infectada, con un 90% de ser contagiado, entonces observemos la curva azul, es el numero de casos de Infectados, como se ve, para un parámetro 𝛽 del 0.9, que significa un día normal, con montones de personas en la calle, tendremos que el 70% de la población se contagiara, y con un promedio de muertes del 4% del Coronavirua, entonces el 2.8% de la población morirá, esto es 3,617,600 mexicanos.

Con 𝛽 = 0.9 Un alto nivel de personas susceptibles

Ahora bien, si se aplica una distancia adecuada y las personas se mantienen en casa, el factor 𝛽 disminuye:

Con 𝛽 = 0.4

Solo tendríamos el 45% infectados, 2,325,600 muertos,

Con 𝛽 = 0.2

Solo tendríamos el 20% infectados, 1,033,600 muertos, 

Como se ve, entre menor sea 𝛽, menos altura tiene la curva, menos muertes.

A eso se le llama aplanar la curva, y como se ve, 𝛽 depende de la distancia social, entre menos contagios, menos muertos, y si aceptamos que el virus se vuelve no mortal en un mes, entonces, por eso es importante mantener las medidas de estar en casa.

Entre menor sea la curva, menos pacientes necesitan ser hospitalizados, lo que implica menos carga de trabajo al personal médico y menos gasto social, es muy importante mantenerse en casa, por tí, por tú familia y por tú sociedad.

Los cálculos los hice calculando una mortalidad del 4%, que es la reportada hasta el momento, esperemos que en México no sea tan alta.

Existen otros Modelos, pero son más complejos y no son tan populares.

Si deseas revisar los números y hacer tú propio modelo, te dejo el enlace del simulador de la Universidad de Arizona:

http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/sir.html?Alpha=0.4&Beta=0.1&initialS=99&initialI=10&initialR=1&iters=30