Punto Flotante, definiendo FL(10,5,-3,4)

 La Unidad 2 de la Materia de Analisis Numerico, trata de una forma muy peculiar sobre el concepto de punto flotante, pero usa una notación muy extraña y una aproximacion teorica que no me convence, por alguna razon, no hay libros ni con esa notación, ni con esa aproximacion, lo que lo deja como un tema muy obscuro, yo recomiendo usar el libro de Oda de Analsis de datos experimentales, de la FCUNAM, que maneja el tema desde la Teoria del Error o el Volkov de Analisis Numerico, que lo trata desde la perspectiva de la Aproximacion de las Funciones.

La Notación

En los apuntes, se usa la extraña notación de:

FL es flotante

Base, es la base que usamos, en este caso base 10, pero podria ser binaria, hexagesimal, etc.

P es la Precision, o mejor definida como la mantisa, en los apuntes esta mal escrita, deberia de decir:

0≦di≦p en vez de beta

Exponente mínimo, es el menor de los exponentes que manejaremos

Exponente maximo, es el mayor de los exponentes que manejaremos

Estos dos, definen un rango de valores, asi que si tenemos una regla de 30 centimetros, el maximo estaria en decimetros y el minimo en milimetros, depende del metodo de medicion o de aproximacion

Punto Flotante

El PF es un concepto derivado de la notacion cientifica, y su uso en computacion o calculadoras, basicamente, significa que hay diferentes notaciones, para un numero dado, y el punto flotante, nos sirve para usar la notacion que  mas nos sirva, recorriendo el punto a donde nos convenga.

Asi, supongamos que tenemos el numero 0.012345, podemos representarlo de las siguientes formas:

0.0012345 x 10^-1  Base 10, p=7

1.2345 x 10²  Base 10, p=4

1234.5 x 10⁵ Base 10, p=1

El Exponente lo manejariamos en el problema dado, si comparamos los usados, en el mismo ejemplo, tendriamos Exp min = -1 (el de la ecuacion inicial), Exp max=4, el de la segunda

Asi podemos operar con el como mas nos convenga, podemos unificar notaciones, como transformar medidas de centimetros a metro o a kilometro, o visceversa, y operar todo ordenadamente, asi supongamos que queremos sumarle a un metro un centimetro, primero normalizamos todo:

1 metro = 100 centimetros

O en notacion de punto flotante

1 m = 100 cm = 1 x 10² cm

1 x 10 ²  cm + 1 x 10⁰ cm = 100 cm + 1 cm = 101 cm

El ejemplo se ve trivial, pero su verdadero poder, es cuando estamos manejando cifras o muy grandes o muy pequeñas, asi 5x10^-23 es mas facil de escribir que escribir los 23 ceros y cuando lo operamos con cantidades cuanticas muy semejantes, es mas conveniente operar con notacion cientifica, (llamada punto flotante por alguna extraña razon en los apuntes)

Asi en Relatividad tenemos la velocidad de la Luz: 300000000 m/s, lo que es mas facil de escribir como 3x10⁸ m/s y cuando haces calculos de Relatividad, con raices cuadradas y toda la cosa, es mas comodo manejar todo con puntos flotantes (notacion cientifica)

Que es la métrica

 Todos estamos acostumbrados a la tradicional definicion de continuidad

En este caso, medimos la distancia entre dos puntos, eso significa 

|x-x0|< δ

La distancia es un tipo de métrica, esto es podemos decir, la distancia entre mi casa y el mercado es de 150 metros, o la distancia entre la Ciudad de México y la de Puebla es de 180 km, al igual lo hacemos en geometria, la distancia entre dos puntos esta bien definida, como la norma entre ellos.

Pero no son las unicas metricas que existen, tomemos un ejemplo de la serie la Tercera Roca:

¿Cual es la distancia entre México y Veracruz?

397 Kilometros

Pero otra metrica, seria tomar el tiempo

6 horas de distancia

O una diferente, el dinero

1100 pesos por ADO

Y si tomamos una emocional

Veracruz siempre esta en mi corazon

Como es evidente, tanto los kilometros como el tiempo son continuos, pero el dinero, no, porque no hay continuidad la tarifa viajando en un autobus de segunda, de primera o de lujo son diferentes, y hay grandes huecos enmedio, en cambio la ultima, es un ejemplo claro de que la topologia puede reducir distancias enormes a nada, (doblar el espacio topologico) solo dependiendo de que metrica usemos.

Entonces podemos decir que la métrica es la forma en que medimos una distancia, por longitud (kilometros), por tiempo, o por cualquier forma que no sconvenga medir

Asi que dependiendo de que metrica tomemos, sera la topologia a usar, las que mejor funcionan son las continuas, pero el mismo concepto de continuidad puede cambiar, por ejemplo, si la defino como todos los planetas de clase M (Star Trek, que son habitables por el ser humano), entonces, la definicion de continuidad tambien cambiaria, porque todo el espacio vacio entre ellos o los planetas que no son M, no estan dentro de nuestro espacio topologico X, ergo, el conjunto los planetas tipo M es continuo.

Principio de Cajas

 El conteo por cajas, establece que:

 

¿Importa el orden?

Si ⇒ Es una Variación o una Permutación

No ⇒ Es una Combinación

Segunda Pregunta:

Se emplean todos los elementos:

Si ⇒ Es una Permutación

No ⇒ es una Variación

Las cuales resumo en una tabla:

Tomare la notación:

n = agrupación (cajas disponibles)

m = numero de elementos del conjunto (siempre sera el número mayor)

El método de cajas, es:

Si tengo m elementos y n cajas

Pongo el numero de elementos disponibles en la primer caja, luego los que me restan en la segunda y asi voy eliminando de uno en uno hasta acabarme las cajas, tomando un ejemplo de m=7 y n=3, tendría las cajas:

Y el resultado sería : 7*6*5=210

Principio Inclusión-Exclusión

 

Hay que considerar, que los ejemplos númericos, dependen de como se construyan los conjuntos, es más fácil cuando estos son númericos

Actividad Complementaria

 

Las lineas rojas significan el enlace Constructivo-Conceptual.

Stokes' Theorem Example // Verifying both Sides // Vector Calculus

Construccion de la Integral Triple

La construccion de la Integral triple es como  la doble, tenemos que basarnos en una construccion geometrica, y hay que hacerlo con cuidado, porque ahora los limites dependen de dos funciones, en la forma:

Como se ve, la integral interior, depende de dos funciones, la intermedias de una y la exterior debe de ser numerica, en este caso en particular tome los limites como dzdydx, por claridad, pero pueden tomarse en el orden que consideremos mas eficiente, dxdydz, dydzdx, etc.

EJEMPLO 1

CUBO

Integremos sobre el cubo unitario de la figura, en el que:

PASO 1

Limites x,y

Proyectar sobre el eje xy

Esto nos produce un cuadrado:

Como se ve, es evidente que:

x∈[0,1]

y∈[1,2]

Por lo que ya tenemos los limites de integración para las integrales externa e intermedia

PASO 2

Limites para z

Al ser un cubo, podemos ver en la figura, que para todo punto (x,y), los valores de z van del 3 al 4, esto es:

z∈[3,4]

Por lo que nuestra integral quedaria:

EJEMPLO 2

Entre dos funciones

Ahora supongamos que deseamos calcular el volumen entre las funciones:

Notese que una cosa muy diferente son las Regiones en donde calcularemos la integral, y otra la funcion a integrar, que para evitar confusiones, la he llamado h(x,y,z) y no la especificare, porque no es importante para la construccion geometrica.

Esto nos define dos paraboloides, cuya interseccion se ve en la figura, una circunferencia:

PASO 1

Escoger el orden de Integracion

En este caso elijo dzdxdy, porque dado una (x,y), es facil darse cuenta donde comienza y donde acaba la z asociada a ella, empieza en el paraboloide inferior y termina en el superior (notese que solo es necesario escribir las ecuaciones en el respectivo lugar de la integral)

Asi mi integral triple quedaria:

Paso 2

Proyeccion sobre el eje xy

Lo que nos interesa es la proyeccion en el plano xy

La figura morada, es la sombra de la interseccion

El calculo de la interseccion es:

PASO 3

Limites para x,y

Para todo valor de x, se ve que el valor va de la parte inferior de la circunferencia a la superior, como no podemos escribir la ecuacion de la circunferencia en la integral (son dos variables)=, despejamos y en funcion de x, y escribimos esto en los liumites, notese que cada semicirculo tendria asi, su propia  ecuacion, que solo depende de x:

Asi que

De la inspeciión de la figura, se ve que x va de menos raiz de dos a raiz de dos, esto es delos extremos radio de la circunferencia

Lo que significa que la integral dzdydx.quedarian.

La cual se ve dificil de hacer, pero como tiene tantas raices y binomios cuadrados, es evidente, que es mas facil hacerla con cilindricas.

Para este ejemplo me he basado en la clase 25 del Curso de Calculo Multivariacional del MIT:

NOTAS:

Esta es una de las posibles iteraciones, la proyeccion podria hacerse con los ejes xz o yz, se elige la que nos de los limites mas claros o bien, que pueda darnos una funcion de integracion mas manejable.

Es muy importante notar el orden de los limites de integracio:

• Para la integral interior, la funcion es maximo de 2 variables
• Para la intermedia, la funcion es maximo de una variable
• Para la exterior, solo puede haber valores numericos
• Si la variable de la interior es z, los limites deben estar en funcion de x e y
• Si la variable intermedia es y, entonces los limites deben de estar en funcion de x
• Y correspondientemente, en cada variable, le corresponde cierto orden de limites y diferenciales.